
Nel 1937 fu contattato dalla casa discografica Odeon come artista esclusivo, un accordo che si protrasse per ben 34 anni con piú di 350 registrazioni di brani di vario genere tra tanghi, vals, fox-trot, polke ed altri ritmi in voga all'epoca.
Il suo primo cantante fu Roberto "El chato" Flores, ma la voce che accompagnò la quasi totalità dei suoi successi fu quella di Armando Moreno (El Niño Moreno), con cui registrò piú di 200 brani e che lo accompagnò in numerosissime tournee di grande successo in America, Colombia e Peru.
Un grandissimo successo ebbe il suo valzer
"Tengo mil novias" cantata, appunto, da Armando Moreno.
Tra gli altri cantanti vanno ricordati Ricardo Herrera, Fernando Reyes, Omar Quirós, Roberto Videla, José Torres, Oscar Galán, Ernesto Falcón, Cruz Montenegro e Dorita Zárate.
Nel 1944 Rodríguez modificò il suo stile musicale, forse nel tentativo di riscattarsi dalle accuse di essere un "semplice musicista adatto solo alle feste da ballo" rivolte dai raffinati cultori del tango.
Rese le atmosfere piú dense e complesse alternando violoncello e contrabbasso; introdusse armonie piú arzigogolate e un andamento ritmico meno istintivo.
Integrò nella sua orchestra l'arrangiatore e pianista Armando Cupo, il bandoneonista Roberto Garza e l'arrangiaore Omar Murtagh.
Produsse notevoli tanghi strumentali, come
"Naranjo en flor",
"La vi llegar", "Luna llena", "Y así nació este tango" e "El africano".
Tuttavia, sebbene siano brani estremamente piacevoli e che non hanno nulla da invidiare ad altre interpretazioni, questo nuovo modo di interpretare la musica non piacque e ben presto, allontanati Cupo e Garza, Rodríguez tornò ai ritmi piú ballabili delle sue origini, mantenendo questo stile fino alla fine della sua carriera.